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Anualização e Mensalização: equivalência entre taxas de juros

Menos de metade dos fundos de ações superam o Ibovespa

Você sabe quanto rende por mês um investimento de 12% ao ano? Não, não é 1%! ?

E quanto rende por ano um investimento de 1% ao mês? Não é 12%, não! ?

Como estamos falando de Juros Compostos, não podemos só multiplicar ou dividir por 12.

Temos que levar em conta os juros sobre juros. E, para isso, é usada uma fórmula, que é uma variação da fórmula de Valor Futuro.

Mas não se assuste! É simples e vou te mostrar isso, em detalhes, neste artigo!

Equivalência entre Taxas de Juros

Duas taxas de juros são equivalentes se, quando aplicadas ao mesmo capital, em um mesmo intervalo de tempo, produzem montantes iguais no final do período.

Em outras palavras, se você aplicar R$ 1.000,00 durante 12 meses (um ano), você terá um determinado valor futuro, com base na taxa de juros.

Essa taxa pode ser mensal, anual, semestral… Sempre vai haver uma equivalência entre elas.

Ou seja, você pode falar que o dinheiro rende x% ao mês ou y% ao ano. O montante final será o mesmo, desde que as duas taxas sejam equivalentes.

Isso vai ficar mais claro quando eu mostrar exemplos práticos.

Anualização e Mensalização

Educação Financeira

Quando você tem a taxa de juros mensal e quer saber a taxa correspondente por ano (12 meses), você precisa fazer uma Anualização.

Ou seja, anualização é obter a taxa anual com base na taxa mensal.

E se você souber a taxa anual e quiser descobrir a taxa mensal correspondente, precisa fazer uma mensalização.

Logo, mensalização é obter a taxa mensal a partir da taxa anual.

Não basta dividir ou multiplicar por 12

Muita gente acha que, para obter a taxa mensal, basta dividir a taxa anual por 12. Ou que, para obter a taxa anual, basta multiplicar a taxa mensal por 12.

Mas isso está errado!

Dessa forma, você não estará considerando a ação dos Juros Compostos, ou Juros Sobre Juros.

O cálculo correto precisa de uma fórmula, que é obtida a partir da fórmula do Valor Futuro.

Como Calcular Anualização

Para anualizar uma taxa mensal, usamos este fórmula:

ia = (1 + im)12 - 1

onde ia é a taxa anual e im é a taxa mensal.

Como Calcular Mensalização

Para mensalizar uma taxa anual, usamos esta fórmula:

im = (1 + ia)1 / 12 - 1

onde ia é a taxa anual e im é a taxa mensal.

Note que estamos elevando a 1 / 12, que equivale à raíz índice 12. Como as calculadoras e planilhas não têm raíz índice 12, usamos a potência de 1 / 12.

Exemplos

Lápis e papel

Para entender melhor, vamos ver alguns exemplos de anualização e mensalização.

Lembre-se de que a taxa de juros, em percentual, deve ser utilizada como número decimal.

Por exemplo, 10% é 0,10 e 2% é 0,02.

Exemplos de Anualização

Exemplo 1: Qual a taxa anual de juros equivalente a 1% ao mês?

Sabemos que 1% é 0,01. Logo:

1 + ia = (1 + 0,01)12
1 + ia = 1,0112
1 + ia = 1.1268
ia = 1.1268 – 1
ia = 0.1268
ia = 12,68%

Aqui já percebemos o erro de apenas multiplicar por 12.

Como vimos no começo do artigo, muitos diriam que a anualização de 1% ao mês seriam 12% ao ano. Mas, graças aos juros compostos, a taxa anual é de 12,68%.

Exemplo 2: Qual a taxa anual de juros equivalente a 2% ao mês?

Sabemos que 2% = 0,02. Logo:

1 + ia = (1 + 0,02)12
1 + ia = 1,0212
1 + ia = 1,2682
ia = 1,2682 – 1
ia = 0,2682
ia = 26,82%

Aqui podemos concluir outra informação importante: a anualização de 2% ao mês não é o dobro da anualização de 1% ao mês.

Novamente, devido à ação dos juros compostos, o resultado é maior.

Exemplos de Mensalização

Exemplo 3: Qual a taxa mensal equivalente a 12% ao ano?

Sabemos que 12% é 0,12. Logo:

im = (1 + ia)1/12 –1
im = (1 + 0,12)1/12 –1
im = (1,12)1/12 –1
im = 1.0094 - 1
im = 0.0094
im = 0,94% ao mês

Outra vez entendemos o erro comum que vimos no começo do artigo.

Não basta dividir por 12, pois a taxa anual leva em consideração os juros compostos.

Exemplo 4: Qual a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano?

Sabemos que 60,103% é 0,60103. Logo:

im = (1 + ia)1/12 –1
im = (1 + 0,60103)1/12 –1
im = (1,60103)1/2 –1
im = 1,0399 - 1
im = 0,0399
im = 3,99% ao mês

Explicação das Fórmulas

Agora vamos falar da parte matemática da história.

Mas não se assuste. Não é complexo. E é sempre bom entender o porquê das coisas!

A fórmula é baseada nos conceitos de Valor Futuro e Valor Presente.

Em resumo, Valor Futuro (VF) é o conceito de investimento, levando em consideração uma taxa de juro e um montante inicial, que renderá juros compostos em um determinado período.

Valor Presente (VP) é o valor atual (valor inicial, no nosso caso).

A fórmula do Valor Futuro é a seguinte:

VF = VP . (1 + i)n

onde n é o número de períodos (dias, meses, anos etc.) e i é a taxa de juros de cada período.

Se aplicarmos um capital inicial VP a juro composto no período de um ano teremos:

VF = VP(1 + ia)1

Aplicando esse mesmo capital inicial no mesmo período de um ano, mas capitalizado mensalmente temos:

VF = VP(1 + im)12

Para que as taxas sejam equivalentes, os montantes terão que ser iguais. Portanto:

VP(1 + ia) = VP(1 + im)12

Da igualdade acima, deduzimos que:

(1 + ia) = (1 + im)12

E dessa igualdade, concluímos as duas fórmulas que vimos anteriormente:

ia = (1 + im)12 - 1    (anualização)

e

im = (1 + ia)1 / 12 - 1    (mensalização)

Planilha de Anualização e Mensalização

Fiz uma planilha para você testar, na prática, a diferença entre fazer o cálculo correto e apenas multiplicar ou dividir por 12.

A ideia da planilha é mostrar a diferença dos percentuais e também comparar uma aplicação durante um ano.

Anualização
Anualização de uma taxa mensal

No exemplo acima é possível ver, na prática, o cálculo correto dos juros e também o valor de uma aplicação.

Conforme a igualdade que deduzimos com base na fórmula do Valor Futuro, vemos que ambos os valores futuros ficaram iguais (R$ 1.226,83). Isso prova a equivalência das duas taxas.

Mensalização
Mensalização de taxa anual

Nesse caso, os valores futuros também se igualaram (R$ 1.200,00), provando a equivalência das taxas.

Você pode obter uma cópia dessa planilha em seu Google Drive. Basta acessar este link:

Copie a planilha para o seu Google Drive